たとえば、投稿タイプスラッグを「movie」、ラベルを「映画」としたとき、投稿ページ（single-movie.php） の中で、それぞれの値を取得する方法。

// 「movie」 を取得する
$slug_name = get_post_type();
// 「映画」を取得する
$label_name = get_post_type_object(get_post_type())->label;

スラッグの方は、get_post_type() で一発です。

ラベルの方はもっとシンプルな書き方がありそうな気もするけど、まずはコレで解決できました。